Logika Matematika

Logika matematikaadalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal yang paling penting yang akan didapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah.

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran sebuah pernyataan

Untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan itu benaratau salah dapat digunakan cara sebagai berikut :

i.                     Dasar empiris, yaitu menunjukkan benar atau salahnya sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang dijumpai dalam kehidupan nyata.

Contoh : rambut adik panjang

ii.                   Dasar tidak empiris, yaitu menunjukkan benar salahnya sebuah pernyataan melalui bukti atau perhitungan dalam matematika.

Contoh : jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°

      2.    Ingkaran dari suatu pernyataan

Misalkan p adalah suatu penyataan. Suatu pernyataan lain yang dibentuk dari pernyataan p dengan cara menuliskan “Adalah salah bahwa....” sebelum pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” pada pernyataan p dinamakan negasi atau penyangkalan atau  ingkaran dari pernyataan p. Ingkaran dari pernyataan p ditulis : ~ p (dibaca : “tidak benar bahwa p”).

Sifat  : Jika p benar maka ~p salah. Jika p salah maka ~p benar. Dalam tabel kebenaran, sifat itu disajikan sebagai berikut.

2. Disjungsi

Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “atau” untuk membentuk suatu pernyataan majemuk dinamakan disjungsi dari pernyataan semula. Dalam bentuk lambang konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p V q (dibaca: “ p atau q”). Nilai kebenaran dari p V q memenuhi sifat berikut.

Sifat: Jika p benar atau q benar atau keduanaya benar, maka p V q benar. Dalam hal lain p V q salah. Ketentuan tentang nilai kebenaran suatu disjungsi disajikan pada tabel kebeneran sebagai berikut.

     4.    Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk pernyataan majemuk :

a.       q→p dinamakan konvers dari p→q

b.      ~p → ~q  dinamakan invers dari p→q

c.       ~q → ~p  dinamakan kontraposisi dari p→q

Sifat:    1. p→q ≡ ~q → ~p ≡ ~p V q

            2. q→p ≡ ~p → ~q

Jadi, implikasi ekuivalen dengan kontraposisi dan konvers dan konvers ekuvalen dengan invers.

     5.    Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah ≡ .

Contoh : Buktikan bahwa: p ↔ q ≡ (p → q) ∧(q → p)

      6.    Tautologi dan kontradiksi

    Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponen.

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponen.

 Contoh :

Buktikan dengan tabel kebenaran (p ∧~q)  → ~(p →q)

       7.    Penarikan Kesimpulan

Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dan hanya jika konjungsi dan premis-premisnya benar. Dengan kata lain, jika bentuk konjungsi premis-premisnya mengakibatkan konklusi , maka argumen itu dikatakan sah. Sebaliknya, juika konjungsi premis-premis itu tidak mengakibatkan konklusi, maka argumen itu sesuatu yang palsu atau tidak sah.

Bentuk baku cara menuliskan argumen adalah dengan menuliskan premis-premis tersusun dari atas ke bawah, setiap premis ditulis dalam satu baris, sedangkan garis datar digunakan untuk membatasi premis dengan konklusi.

Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode silogisme dikatakan sah atau valid.

     2. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)

        p→q (premis 1)

       p       (premis 2)

       

       Jadi q (kesimpulan/konklusi)

       Dengan tabel dapat kita lihat sebagai berikut :

Argumen tersebut dikatan sah, jika pernyataan implikasi [(p→q ˄ ~q] → ~p merupakan suatu tautologi. Jadi, untuk memeriksa apakah suatu argumen sah atau tidak, kita perlu memeriksa nilai kebenaran pernyataan implikasi itu untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premis. Pernyataan p→q setara atau ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu ~q→~p. Oleh  karena itu, argumen di atas dapat ditulis menjadi :

~q→~p (premis 1)

~q         (premis 2)

Jadi ~p (kesimpulan/konklusi)

Argumen ini adalah suatu modus ponens. Ternyata modus tolens adalah bentuk khusus dari modus ponens.

Perlu diingat bahwa sah atau tidak sahnya suatu argumen atau penalaran tidak tergantung pada benar tidaknya suatu kesimpulan sebagai penyataan. Ada argumen yang kesimpulannya memiliki arti yang wajar, walaupun cara menarik kesimpulan itu tidak sah. Ada juga kesimpulan yang kelihatannya tidak masuk di akal, tetapi kesimpulan itu diperoleh dari suatu argumen yang sah. :

Dapat juga kita lihat dari tabel sebagai berikut :

LATIHAN SOAL LOGIKA MATEMATIKA

      1.      Coba kalian ubah pasangan-pasangan pernyataan di bawah ini menjadi pernyataan majemuk dengan operasi majemuk (dan):

A.      p : Hari ini surabaya cerah

q : Hari ini surabaya udaranya sejuk

B.      p : Gilang mengenakan baju merah

q : Gilang mengenakan topi hitam

C.      p : Bejo pandai dalam pelajaran matematika

q : Bejo pandai dalam pelajaran kimia

     2.      Diketahui p adalah “Hari ini hujan deras” dan q adalah “Hari ini aliran listrik terputus”. Tulis setiap pernyataan berikut ini dengan menggunakan lambang logika

a.       Hari ini tidak hujan deras dan aliran listrik tidak terputus.

b.      Hari ini tidak hujan deras atau aliran listrik terputus.

         3.      Perhatikan Penyataan Berikut ini :

            p : Tahun ini kemarau panj ang.

            q : Tahun ini hasil padi meningkat.

            Nyatakan dengan kata-kata:

a.     p → q

b.     ~p → ~q

c.     p → ~q

          4.      Tunjukkan bahwa :

a.       ~(p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q

b.      ~(p ˅ q) ≡ ~p ˄~q

          5.      Tulis konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi :

a.       “Jika semua bilangan prima adalah bilangan ganjil maka 2 bukan bilangan prima”

b.      “Jika cuaca dingin maka Dinda memakai jaket”

6.      Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan “Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan ganjil” adalah ….

(Matematika Dasar SNMPTN)

      7.      Tentukan kesimpulan dari :

            Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.

            Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

8. Diketahui pernyataan :

1.    Jika hari panas, maka Ani memakai topi.

2.    Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

3.    Ani tidak memakai payung.

Dari pernyataan diatas carilah kesimpulan yang sah !

    9.      Buktikan bahwa argumen yang berbentuk kaidah silogisme berikut ini sah.

p→q (premis 1)

q→r  (premis 2)

Jadi p→r

    10.  Tuliskan ingkaran dari setiap pernyataan berikut ini kemudian sederhanakanlah.

a.       Jika cuaca dingin maka dia memakai baju hangat tetapi bukan sweater

b.      Jika dia belajar maka dia akan melanjutkan ke perguruan tinggi atau ke sekolah seni.